关于正交矩阵的问题实对称矩阵A=[1,-2,0][-2,2,-2][0,-2,3]求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角矩阵.o(>﹏

Question

关于正交矩阵的问题
实对称矩阵A=
[1 ,-2 ,0]
[-2,2,-2]
[0,-2,3]
求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角矩阵.
o(>﹏

Answer 1

det|λE-A|=|λ-1 2 0|=(λ-2)(λ-5)(λ+1)=0
|2 λ-2 2|
|0 2 λ-3|
解得特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=-1
对于特征值λ1=2,解方程组(2E-A)x=0 由
2E-A=[1 2 0] [1 0 1 ]
[2 0 2] --->[0 1 -1/2]
[0 2 -1] [0 0 0 ]
得它的一个基础解系为ζ1=(-2,1,2)^T 把ζ1单位化,得属于λ1=2的单位特征向量ζ1=(-2/3,1/3,2/3)^T
对于特征值λ2=5,解方程组(5E-A)x=0 由
5E-A=[4 2 0] [1 0 -1/2]
[2 3 2] --->[0 1 1 ]
[0 2 2] [0 0 0 ]
得它的一个基础解系为ζ2=(1,-2,2)^T 把ζ2单位化,得属于λ2=5的单位特征向量ζ1=(1/3,-2/3,2/3)^T
对于特征值λ3=-1,解方程组(-E-A)x=0 由
-E-A=[-2 2 0] [1 0 -2]
[2 -3 2] --->[0 1 -2]
[0 2 -4] [0 0 0]
得它的一个基础解系为ζ3=(2,2,1)^T 把ζ3单位化,得属于λ3=-1的单位特征向量ζ3=(2/3,2/3,1/3)^T
所以ζ1,ζ2,ζ3就是A的正交化单位化的特征向量,令矩阵
Q=[ζ1,ζ2,ζ3]=[-2/3 1/3 2/3] ,则Q就是所求的正交矩阵,且有Q^-1AQ=Q^TAQ=[2 ]
[1/3 -2/3 2/3] [ 5 ]
[2/3 2/3 1/3] [ -1]