函数连续设f(x)={X^a*cos(1/x),x不等于0时{0,x=0时其导数在x=0处连续,则a的取值范围答案给的a的取值范围是a>2可导的范围是a>1

Question

函数连续
设f(x)={X^a*cos(1/x),x不等于0时
{0 ,x=0时
其导数在x=0处连续,则a的取值范围______
答案给的a的取值范围是a>2
可导的范围是a>1

Answer 1

确实是我疏忽了,修正答案如下：
函数在x=0附近的导数为：f'(x)=(f(x)-f(0))/(x-0)(x->0)=x^(a-1)*cos(1/x),
但当x≠0时,f'(x)=x^(a-1)*cos(1/x)+x^(a-2)*sin(1/x),考虑到y=cos(1/x)以及y=sin(1/x)在x=0附近不连续,只能是x^(a-1)->0(x->0);x^(a-2)->0(x->0);
因此有a>1以及a>2,综上,a>2;