如图，已知E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AE：EF：FC=1：2：1，试求∠ACB的度数．

Question

如图，已知E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE：EF：FC=1：2：1，试求∠ACB的度数．

Answer 1

（1）证明：∵E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=DC，
在△ABE和△CDF中，

∠BEA＝∠DFC

∠BAE＝∠DCF

AB＝DC

，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）∵∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
又∵∠AEB=∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴(AE)/(BE)=(BE)/(EC)，
∵AE：EF：FC=1：2：1，
∴设AE=x，EF=2x，FC=x，
∴(x)/(BE)=(BE)/(3x)，
∴BE=√(3)x，
∴tan∠ECB=(BE)/(EC)=(√(3)x)/(3x)=(√(3))/(3)，
∴∠ECB=30°即∠ACB的度数为30°．