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如图,已知E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若AE:EF:FC=1:2:1,试求∠ACB的度数.
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(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AE:EF:FC=1:2:1,试求∠ACB的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠DFC=90°,∠BAE=∠DCF,AB=DC,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(AAS);
(2)∵∠BAE+∠ABE=90°,∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠BAE=∠CBE,
又∵∠AEB=∠BEC,
∴△ABE∽△BCE,
∴
=
,
∵AE:EF:FC=1:2:1,
∴设AE=x,EF=2x,FC=x,
∴
=
,
∴BE=
x,
∴tan∠ECB=
=
=
,
∴∠ECB=30°即∠ACB的度数为30°.
∴∠AEB=∠DFC=90°,∠BAE=∠DCF,AB=DC,
在△ABE和△CDF中,
|
∴△ABE≌△CDF(AAS);
(2)∵∠BAE+∠ABE=90°,∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠BAE=∠CBE,
又∵∠AEB=∠BEC,
∴△ABE∽△BCE,
∴
AE |
BE |
BE |
EC |
∵AE:EF:FC=1:2:1,
∴设AE=x,EF=2x,FC=x,
∴
x |
BE |
BE |
3x |
∴BE=
3 |
∴tan∠ECB=
BE |
EC |
| ||
3x |
| ||
3 |
∴∠ECB=30°即∠ACB的度数为30°.
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