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已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点.(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=;如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=;(2)
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已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、F分别是DC与BE的中点.
(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=______;如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=______;
(2)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明;
(3)如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC;试探究:若NC⊥BC(点C、M重合除外),则∠ACB等于多少度?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=______;如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=______;
(2)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明;
(3)如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC;试探究:若NC⊥BC(点C、M重合除外),则∠ACB等于多少度?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
▼优质解答
答案和解析
(1)60°;45°…(2分)
(2)∠AFG=90°−
…(3分)
证明:连接AG.
∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.
又AD=AB,AC=AE,
∴△DAC≌△BAE…(4分)
∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.
又G、F为中点,
∴DG=BF,
∴△DAG≌△BAF…(5分)
∴∠DAG=∠BAF.
∴∠GAF=∠DAB=α,
∴∠AFG=90°−
…(6分)
(3)如图.
延长CN于H,使NH=MC,连接AH.
∵NC⊥BC,∠MAN=90°,
∴∠AMC+∠ANC=180°…(7分)
∵∠ANH+∠ANC=180°,
∴∠AMC=∠ANH…(8分)
在△AMC与△ANH中,
.
∴△AMC≌△ANH(SAS),
∴AC=AH,∠MAC=∠NAH…(9分)
∴∠HAC=∠MAN=90°.
∴∠ACH=45°,
∴∠ACB=45°…(10分)
(2)∠AFG=90°−
α |
2 |
证明:连接AG.
∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.
又AD=AB,AC=AE,
∴△DAC≌△BAE…(4分)
∴DC=BE,∠ADC=∠ABE.
又G、F为中点,
∴DG=BF,
∴△DAG≌△BAF…(5分)
∴∠DAG=∠BAF.
∴∠GAF=∠DAB=α,
∴∠AFG=90°−
α |
2 |
(3)如图.
延长CN于H,使NH=MC,连接AH.
∵NC⊥BC,∠MAN=90°,
∴∠AMC+∠ANC=180°…(7分)
∵∠ANH+∠ANC=180°,
∴∠AMC=∠ANH…(8分)
在△AMC与△ANH中,
|
∴△AMC≌△ANH(SAS),
∴AC=AH,∠MAC=∠NAH…(9分)
∴∠HAC=∠MAN=90°.
∴∠ACH=45°,
∴∠ACB=45°…(10分)
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