已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求

Question

已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F．
（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；
（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=√(2)CG．

Answer 1

（1） ∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BCF和△ABE中，

∠C=∠ABE

BC=AB

∠CBF=∠BAE

，
∴△BCF≌△ABE（ASA），
∴CF=BE=1，
∴DF=CD=CF=3，
∴AF=√(42+32)=5；
（2）证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE，
∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠AGO=∠ABO=45°，
∴∠FGO=90°-45°=45°=∠AGO，
∴GO平分∠AGF；
（3）证明：连接EF，如图所示：
∵CG⊥GO，
∴∠OGC=90°，
∵∠EGF=∠BCD=90°，
∴∠EGF+∠BCD=180°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∴∠EFC=∠EGC=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=CF，
同（1）得：△BCF≌△ABE，
∴CF=BE，
∴CE=BE=(1)/(2)BC，
∴OA=(1)/(2)AC=(√(2))/(2)BC=√(2)CE，
由（1）得：A、B、G、O四点共圆，
∴∠BOG=∠BAE，
∵∠GEC=90°+∠BAE，∠GOA=90°+∠BOG，
∴∠GOA=∠GEC，
又∵∠EGC=∠AGO=45°，
∴△AOG∽△CEG，
∴(AG)/(CG)=(OA)/(CE)=√(2)，
∴AG=√(2)CG．