已知AB是半圆O的直径，点C在半圆O上．（1）如图1，若AC=3，∠CAB=30°，求半圆O的半径；（2）如图2，M是BC的中点，E是直径AB上一点，AM分别交CE，BC于点F，D．过点F作FG∥AB交边BC于点G，若△ACE

Question

已知AB是半圆O的直径，点C在半圆O上．
（1）如图1，若AC=3，∠CAB=30°，求半圆O的半径；
（2）如图2，M是

BC

的中点，E是直径AB上一点，AM分别交CE，BC于点F，D．过点F作FG∥AB交边BC于点G，若△ACE与△CEB相似，请探究以点D为圆心，GB长为半径的⊙D与直线AC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，AB=(AC)/(cos∠CAB)，
=(3)/(cos30°)
=2√(3)，
∴OA=√(3)；

（2）⊙D与直线AC相切．
理由如下：
由（1）得∠ACB=90°，
∵∠AEC=∠ECB+∠6，
∴∠AEC>∠ECB，∠AEC>∠6，
∵△ACE与△CEB相似，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有
∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∵M是

BC

的中点，
∴∠COM=∠BOM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4．
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CF=CD，
过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE=∠6，
在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有
∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠6=90°，
∴∠ACE=∠6=∠FPE，
在△ACF与△APF中，

∠1=∠2

∠ACF=∠APF

AF=AF

，
∴△ACF≌△APF，
∴CF=FP，
∵FP∥GB，FG∥AB，
∴四边形FPBG是平行四边形，
∴FP=GB，
∴CD=GB，
∵CD⊥AC，
∴点D到直线AC的距离为线段CD的长，
∴⊙D与直线AC相切．