如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=42，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连结AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连结DE，设BD=x．（1）求证：∠DCE=90°；（2）当△DCE的面积为6

Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=4√(2)，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连结AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连结DE，设BD=x．

（1）求证：∠DCE=90°；
（2）当△DCE的面积为6时，求x的值；
（3）当D在斜边BC上运动时（D与B、C均不重合）四边形ADCE的面积S是否随着x的变化而变化？若变化，请求出S与x之间的函数关系式；若不变，求出S的值．

Answer 1

（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；
（2）∵AC=AB=4√(2)，
∴BC²=AC²+AB²=(4√(2))2+(4√(2))2=64，
∴BC=8，
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=8，
∴DC=8-x，
∴Rt△DCE的面积为：(1)/(2)DC•CE=(1)/(2)（8-x）x．
∴(1)/(2)（8-x）x=6，
即-x²+8x-12=0．
解得x=2或x=6；
（3）因为△ACE≌△ABD，
所以△ABD的面积等于△ACE的面积，
所以四边形ADCE的面积S不变，
S=(1)/(2)×4√(2)×4√(2)=16．