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如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=42,D为斜边BC上的一点(D与B、C均不重合),连结AD,把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,连结DE,设BD=x.(1)求证:∠DCE=90°;(2)当△DCE的面积为6
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如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=4
,D为斜边BC上的一点(D与B、C均不重合),连结AD,把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,连结DE,设BD=x.
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(1)求证:∠DCE=90°;
(2)当△DCE的面积为6时,求x的值;
(3)当D在斜边BC上运动时(D与B、C均不重合)四边形ADCE的面积S是否随着x的变化而变化?若变化,请求出S与x之间的函数关系式;若不变,求出S的值.
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(1)求证:∠DCE=90°;
(2)当△DCE的面积为6时,求x的值;
(3)当D在斜边BC上运动时(D与B、C均不重合)四边形ADCE的面积S是否随着x的变化而变化?若变化,请求出S与x之间的函数关系式;若不变,求出S的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,
∴△ACE≌△ABD,
∴∠ABD=∠ACE,
又∵△ABC是等腰直角三角形,且BC为斜边,
∴∠ABD+∠ACD=90°,
∴∠ACE+∠ACD=90°,
即:∠DCE=90°;
(2)∵AC=AB=4
,
∴BC2=AC2+AB2=(4
)2+(4
)2=64,
∴BC=8,
∵△ACE≌△ABD,∠DCE=90°,
∴CE=BD=x,而BC=8,
∴DC=8-x,
∴Rt△DCE的面积为:
DC•CE=
(8-x)x.
∴
(8-x)x=6,
即-x2+8x-12=0.
解得x=2或x=6;
(3)因为△ACE≌△ABD,
所以△ABD的面积等于△ACE的面积,
所以四边形ADCE的面积S不变,
S=
×4
×4
=16.
∴△ACE≌△ABD,
∴∠ABD=∠ACE,
又∵△ABC是等腰直角三角形,且BC为斜边,
∴∠ABD+∠ACD=90°,
∴∠ACE+∠ACD=90°,
即:∠DCE=90°;
(2)∵AC=AB=4
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∴BC2=AC2+AB2=(4
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2 |
∴BC=8,
∵△ACE≌△ABD,∠DCE=90°,
∴CE=BD=x,而BC=8,
∴DC=8-x,
∴Rt△DCE的面积为:
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
即-x2+8x-12=0.
解得x=2或x=6;
(3)因为△ACE≌△ABD,
所以△ABD的面积等于△ACE的面积,
所以四边形ADCE的面积S不变,
S=
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2 |
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