如图：AB∥CD（1）若AE平分∠BAC，∠CAE+∠ACE=90°，求证：CE平分∠ACD；（2）AF⊥CF，M是AF上一点，且∠MCF=∠FCD，试问∠BAF和∠MCG之间有怎样的数量关系，写出其数量

Question

如图：AB∥CD

（1）若AE平分∠BAC，∠CAE+∠ACE=90°，求证：CE平分∠ACD；                 
（2）AF⊥CF，M是AF上一点，且∠MCF=∠FCD，试问∠BAF和∠MCG之间有怎样的数量关系，写出其数量关系式并说明理由；
 （3）P是CD上一点，∠ACP的平分线和∠BAP的平分线交于Q，若∠CAP=80°．求∠Q的度数．

Answer 1

（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=(1)/(2)∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠CAE=∠BAE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD；
（2）∠MCG=2∠A；
理由：过F作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A=∠EFA，∠FCD=∠EFC，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=90°，
∴∠A+∠FCD=90°，
∴∠FCD=90°-∠A，
∵∠GCM=180°-∠MCD，∠MCF=∠FCD，
∴∠GCM=180°-2∠FCD=180°-2（90°-∠A）=2∠A．
（3）∵∠ACP的平分线和∠BAP的平分线交于Q，
∴∠1=∠2=(1)/(2)∠BAP，∠3=∠4=(1)/(2)∠ACP，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAP=80°，
∴∠BAP+∠ACP=100°，
∴∠1+∠3=50°，
∴∠Q=180°-80°-50°=50°．