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在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB上一点,AE=AD,且BF∥CD,AF⊥CE于F.连接DE交对角线AC于H.下列结论:①△ACD≌△ACE;②AC垂直平分ED;③CE=2BF;④CE平分∠ACB.其中结论正确的是
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4a36acaf2edda3cc464cb6a502e93901203f928e.jpg)
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.①②③④
▼优质解答
答案和解析
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°.
∵AB=CB,
∴∠BAC=45°,
∴∠DAC=45°.
又∵AC=AC,
∴△AEC≌△ADC.
∴①△ACD≌△ACE正确.
∵△AEC≌△ADC,
∴DC=CE.
又∵AD=AE,
∴AC是DE的垂直平分线.
即AC垂直平分ED.
∴②AC垂直平分ED正确.
易证F、A、B、C共圆,
因为BC为弦,∠CFB=CAB=45°,FB∥CD,
所以∠FCD=45°,∠ACE=∠ACD=22.5°,
又因为∠ACB=45°,
所以∠FCB等于22.5,
故④正确;
延长DA,交BF延长线于M,
易证MBCD是平行四边形,对
角相等,所以∠M=67.5°,
易证∠FAB=∠FCB(以FB为弦,亦可以用8字结构,相似),
所以∠FAE=22.5°,
所以∠MAF=67.5°,
所以∠M=∠MAF,
故AF=MF,
易证∠EBF=22.5°,
所以∠FAB=∠FBA,
所以AF=FB,
所以MF=BF,
又因为MB=CD=CE(对边以及全等),
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°,OE=OC,
∴BO=CO=
CE
∴∠OCB=∠OBC.
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC,
∴∠FOB=2∠OCB.
∵BF∥CD,
∴∠BFO=∠DCF.
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB,
∴∠BFO=∠FOB.
∴BF=OB.
∴BF=
CE,
即CE=2BF,故③正确.
故答案选D.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c83d70cf3bc79f3d7b49eab5b9a1cd11738b298e.jpg)
∴∠BAD=90°.
∵AB=CB,
∴∠BAC=45°,
∴∠DAC=45°.
又∵AC=AC,
∴△AEC≌△ADC.
∴①△ACD≌△ACE正确.
∵△AEC≌△ADC,
∴DC=CE.
又∵AD=AE,
∴AC是DE的垂直平分线.
即AC垂直平分ED.
∴②AC垂直平分ED正确.
易证F、A、B、C共圆,
因为BC为弦,∠CFB=CAB=45°,FB∥CD,
所以∠FCD=45°,∠ACE=∠ACD=22.5°,
又因为∠ACB=45°,
所以∠FCB等于22.5,
故④正确;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1f178a82b9014a9030884838aa773912b21bee85.jpg)
易证MBCD是平行四边形,对
角相等,所以∠M=67.5°,
易证∠FAB=∠FCB(以FB为弦,亦可以用8字结构,相似),
所以∠FAE=22.5°,
所以∠MAF=67.5°,
所以∠M=∠MAF,
故AF=MF,
易证∠EBF=22.5°,
所以∠FAB=∠FBA,
所以AF=FB,
所以MF=BF,
又因为MB=CD=CE(对边以及全等),
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°,OE=OC,
∴BO=CO=
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∴∠OCB=∠OBC.
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC,
∴∠FOB=2∠OCB.
∵BF∥CD,
∴∠BFO=∠DCF.
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB,
∴∠BFO=∠FOB.
∴BF=OB.
∴BF=
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即CE=2BF,故③正确.
故答案选D.
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