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如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D到平面ACE的距
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(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(2分)
因为平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面ABE,
从而BC⊥AE.(5分)
于是AE⊥平面BCE,故平面ADE⊥平面BCE.(6分)
(Ⅱ)方法一:连接BD交AC与点M,则点M是BD的中点,
所以点D与点B到平面ACE的距离相等.
因为BF⊥平面ACE,所以.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
因为AB=2,所以BE=2sin45°=
.(9分)
在Rt△CBE中,CE=
=
.(10分)
所以BF=
=
=
.
故点D到平面ACE的距离是
.
方法二:过点E作EG⊥AB,垂足为G,
因为平面ABCD⊥平面ABE,所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.又AE=BE,
所以△AEB是等腰直角三角形,
从而G为AB的中点.又AB=2,所以EG=1.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所
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因为平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面ABE,
从而BC⊥AE.(5分)
于是AE⊥平面BCE,故平面ADE⊥平面BCE.(6分)
(Ⅱ)方法一:连接BD交AC与点M,则点M是BD的中点,
所以点D与点B到平面ACE的距离相等.
因为BF⊥平面ACE,所以.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
因为AB=2,所以BE=2sin45°=
2 |
在Rt△CBE中,CE=
BC2+BE2 |
6 |
所以BF=
BC×BE |
CE |
2
| ||
|
2
| ||
3 |
故点D到平面ACE的距离是
2
| ||
3 |
方法二:过点E作EG⊥AB,垂足为G,
因为平面ABCD⊥平面ABE,所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.又AE=BE,
所以△AEB是等腰直角三角形,
从而G为AB的中点.又AB=2,所以EG=1.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所
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