在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC-ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC-ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a-b）cosC，
∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA>0，
∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1-2cosC）=0，可得cosC=(1)/(2)．
又∵C是三角形的内角，∴C=(π)/(3)．
（Ⅱ）∵C=(π)/(3)，a+b=13，c=7，
∴由余弦定理可得：7²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=13²-3ab，解得：ab=40，
∴S_△ABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×40×(√(3))/(2)=10√(3)．