已知：如图，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交边CA于点E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H．（1）求证：BH=CA；（2）求证：BG2=GE2+EA2．

Question

已知：如图，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交边CA于点E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H．

（1）求证：BH=CA；
（2）求证：BG²=GE²+EA²．

Answer 1

（1）∵BC=BA，BE平分∠CBA，
∴BH⊥CA，
∴∠BEA=90°，
又CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，
∵

∠DBH=∠DCA

∠BDH=∠CDA

BD=CD

，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC；

（2）如图，连接CG．

∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F点是BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG，BG²=GE²+EA²．
在Rt△AGE中，∵AG²=GE²+EA²，
∴BG²=GE²+EA²．