如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=4，D是BC中点，将△ABC折叠，使A与D重合．EF为折痕，则DE的长是．

Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=4，D是BC中点，将△ABC折叠，使A与D重合．EF为折痕，则DE的长是______．

Answer 1

过点D作DM⊥AB于点M，
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
∵BC=4，D是BC中点，
∴CD=2，CF=x，则CA=CB=4，
∴DF=FA=4-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF²+CD²=DF²，
即x²+4=（4-x）²，
解得x=(3)/(2)，
∴sin∠BED=sin∠CDF=(FC)/(FD)=((3)/(2))/(4−(3)/(2))=(3)/(5)，
∵∠B=45°，∠DMB=90°，BD=2，
∴DM=BM=√(2)，
∴sin∠BED=(DM)/(DE)=(√(2))/(DE)=(3)/(5)，
解得：DE=(5√(2))/(3)，
故答案为：(5√(2))/(3)．