如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．（1）求证：AB是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=53，AB：BC=2：3，求圆的直径．

Question

如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．

（1）求证：AB是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=(5)/(3)，AB：BC=2：3，求圆的直径．

Answer 1

（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC=90°
∴∠ABC=90°
∴AB⊥BC，
∴AB是圆的切线．
（2） 在RT△AEB中，tan∠AEB=(5)/(3)，
∴(AB)/(BE)=(5)/(3)，即AB=(5)/(3)BE=(20)/(3)，
在RT△ABC中，(AB)/(BC)=(2)/(3)，
∴BC=(3)/(2)AB=10，
∴圆的直径为10．