已知关于x的函数f(x)＝ax−aex(a≠0)（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．

Question

已知关于x的函数f(x)＝(ax−a)/(ex)(a≠0)
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝(−aex(x−2))/((ex)2)＝(−a(x−2))/(ex)，x∈R．
当a=-1时，f（x），f'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以，当a=-1时，函数f（x）的极小值为-e^-2．
（Ⅱ）F′(x)＝f′(x)＝(−a(x−2))/(ex)．
①当a<0时，F（x），F'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

因为F（1）=1>0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需F(2)＝(a)/(e2)+1>0，解得a>-e²，
所以此时-e²<a<0；
②当a>0时，F（x），F'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

因为F（2）>F（1）>0，且F(1−(10)/(a))＝(e1−(10)/(a)−10)/(e1−(10)/(a))<(e−10)/(e1−(10)/(a))<0，
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|-e²<a<0}．