已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx，其中a为常数．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，求a的取值范围．

Question

已知函数f(x)=(3x)/(a)-2x2+lnx，其中a为常数．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）若a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，定义域为（0，+∞）
f′（x）=(1)/(x)-4x+3=(-(4x+1)(x-1))/(x)（x>0）
令f'（x）>0，得x∈（0，1），令f'（x）<0，得x∈（1，+∞），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调增区间为（0，1），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调减区间为（1，+∞）．
（2）f′（x）=(3)/(a)-4x+(1)/(x)，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，
即f′（x）=(3)/(a)-4x+(1)/(x)≥0在[1，2]恒成立，
即(3)/(a)≥4x-(1)/(x)在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-(1)/(x)，因函数h（x）在[1，2]上单调递增．
所以(3)/(a)≥h（2），故(3)/(a)≥(15)/(2)，0<a≤(2)/(5)．