已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间（0,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)

Question

已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间（0,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)

Answer 1

f(x) = 1/x + alnx

f'(x) = -1/x² + a/x = (ax - 1)/x²

(1) a < 0, f'(x) < 0,在定义域x > 0内为减函数

要使x0存在,f(e) = 1/e + a < 0即可, 即a < -1/e

图中的红线为a = 1/e的情形

(2) a > 0, f'(x) = 0, ax = 1, x = 1/a

要使x0存在, f(1/a) = a + aln(1/a) = a(1 - lna) < 0, 1 - lna < 0, a > e    (i)

另外尚需 0 < 1/a ≤ e , a ≥ 1/e   (ii)
x须同时满足(i)(ii),即a > e

下图中的红线为a = e的情形

二者结合a > e或a < -1/e