函数的运算：已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数u,v满足f(u+v)=f(u)+f(v),且f(uv)=uf(v)+vf(u).已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数u,v满足f(u+v)=f(u)+f(v),且f(uv)=uf(v)+vf(u).(1)求f(0),f(1)(2)试用f(u)、f(v)表示f

Question

函数的运算：已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数u,v满足f(u+v)=f(u)+f(v),且f(uv)=uf(v)+vf(u).
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数u,v满足f(u+v)=f(u)+f(v),且f(uv)=uf(v)+vf(u).
(1)求f(0),f(1)
(2)试用f(u)、f(v)表示f(u-v)
(3)用u、v、f(u)、f(v)的表达式来表示f(u/v)

Answer 1

答：
1）
f(uv)=uf(v)+vf(u)
令u=v=0代入式子有：f(0)=0
令u=v=1代入式子有：f(1)=2f(1),f(1)=0
2）
∵f(u+v)=f(u)+f(v)
∴令u+v=0得：f(0)=f(u)+f(-u)=0
∴f(-u)=-f(u)
∴f(x)是R上的奇函数
∴f(u-v)=f(u)+f(-v)=f(u)-f(v)
3）
设1/v=t,vt=1
∴f(1)=f(vt)=vf(t)+tf(v)=0
∴vf(1/v)+(1/v)f(v)=0
∴f(1/v)=-(1/v²)f(v)
∵f(uv)=uf(v)+vf(u)
∴f(u/v)=uf(1/v)+(1/v)f(u)
∴f(u/v)=(-u/v²)f(v)+(1/v)f(u)