已知函数f(x)满足f(a+b²)=f(a)+2f²(b)对ab∈R恒成立,且f(1)≠0,则f(2010)=)

Question

已知函数f(x)满足f(a+b²)=f(a)+2f²(b)对ab∈R恒成立,且f(1)≠0,则f(2010)=)

Answer 1

令a=b=0,则f(0)＝f（0）+2f（0）^2,因此f(0)＝0.
令a=0,b=1,则f（1）＝f（0）+2f（1）^2=2f(1)^2,因为f(1)≠0,所以f（1）＝1/2.
令b=1,则f(a+1)＝f（a）+2f（1）^2=f（a）+1/2.
所以,当n为自然数时,f（n）＝f（1）+（n-1）*1/2＝1/2+（n-1）*1/2＝n/2.
所以f（2010）＝2010/2＝1005.