已知对于任意a、b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)且f(0)≠0,（1）求证f(x)是偶函数,（2）若存在正数m使得f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值（T≠0）

Question

已知对于任意a、b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)且f(0)≠0
,（1）求证f(x)是偶函数,（2）若存在正数m使得f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值（T≠0）

Answer 1

(1)证明：因f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)
令a=b=0得2f(0)=2[f(0)]^2,所以f(0)[(f(0)-1]=0
但f(0)≠0,所以f(0)=1
令a=0得f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b),所以f(-b)=f(b),f为偶函数
(2)因为有正数m使得f(m)=0,所以f(a+m)+f(a-m)=2f(a)f(m)=0
f(a+m)=-f(a-m)
令a-m=x,则a=m+x,所以a+m=x+2m,故f(x+2m)=-f(x)
因此f(x+4m)=-f(x+2m)=f(x)
所以T=4m