已知函数f(x)=√(1+x)+√(1-x)注：√（）代表开根号1.求值域2.设F（x)=m√(1-x^2)+f(x),m为某实数.F(x)的最大值为G(m),求G（m）的分段表达式

Question

已知函数f(x)=√(1+x)+√(1-x) 注：√（）代表开根号
1.求值域
2.设F（x)=m√(1-x^2)+f(x),m为某实数.F(x)的最大值为G(m),求G（m）的分段表达式

Answer 1

1.由y=f(x)表达式知其定义域为[-1,1].不妨设x=cosz,z在[0,pi]内取值,且z=0时x=1;z=pi时,x=-1.则有：
y=√(1+cosz)+√(1-cosz)=√2 * (cos(z/2)+sin(z/2)).（半角公式）
=2*(cos(z/2)sin(pi/4)+sin(z/2)cos(pi/4)).(提取√2 )
=2*sin(z/2+pi/4).
由于z在[0,pi]内,所以（z/2+pi/4）在[pi/4,pi*3/4]内,y取值在[√2,2]内(即值域),且当z/2+pi/4=pi/2即z=pi/2(x=cosz=0)时,函数取最大值2；当z/2+pi/4=pi/4或z/2+pi/4=pi*3/4即z=0或z=pi(x=cosz=1或-1)时,函数取最小值√2.
方法2：由于f(x)>=0,可令其先平方再开方,即：
f(x)=√(f(x)^2)=√(2+2(1-x^2)).由于x在[-1,1]内取值,所以x^2在[0,1]内取值,且容易看出f关于x^2单调递减,所以x^2=0时,f取最大值2；x^2=1时,f取最小值√2.
2.F(x)与f(x)定义域相同,且：
2√(1-x^2)=(√(1+x)+√(1-x) )^2 - ((1+x)+(1-x))
=f(x)^2 - 2
所以,√(1-x^2)=f(x)^2/2-1,F(x)=m*f(x)^2/2+f(x)-m=m*y^2/2+y-m,其中y在[√2,2]内取值.若m=0,F即是f,则有G(m)=G(0)=2; 否则F(y)图像关于y是条抛物线,最大值G(m)在抛物线端点√2,2或对称轴-1/m处选择.
F(√2)=√2;F(2)=m+2;F(-1/m)=-m-1/(2m).
若m>0,三者最大的明显是F(2),故G(m)=m+2;
若m=√2,且当m=-√2/2时取等号,所以G(m)只在F(-1/m)与F(2)中取.
F(-1/m)-F(2)=-m-1/(2m)-m-2=-2m-2-1/(2m)=-1/(2m)*(4m^2+4m+1)
=-1/(2m)*(2m+1)^2
>=0.
故当m=F(2),G(m)=F(-1/m)=-m-1/(2m).
综上所述,当m>=0时,G(m)=m+2; m