已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=-43处取得极值．（1）确定a的值；（2）讨论函数g（x）=f（x）•ex的单调性．

Question

已知函数f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=-(4)/(3)处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）•e^x的单调性．

Answer 1

（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax²+2x．
∵f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=-(4)/(3)处取得极值，
∴f′（-(4)/(3)）=0，
∴3a•(16)/(9)+2•（-(4)/(3)）=0，
∴a=(1)/(2)；
（2）由（1）得g（x）=（(1)/(2)x³+x²）e^x，
∴g′（x）=（(3)/(2)x²+2x）e^x+（(1)/(2)x³+x²）e^x=(1)/(2)x（x+1）（x+4）e^x，
令g′（x）=0，解得x=0，x=-1或x=-4，
当x<-4时，g′（x）<0，故g（x）为减函数；
当-4<x<-1时，g′（x）>0，故g（x）为增函数；
当-1<x<0时，g′（x）<0，故g（x）为减函数；
当x>0时，g′（x）>0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（-∞，-4）和（-1，0）内为减函数，在（-4，-1）和（0，+∞）为增函数．