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设F(X)为一多项式.若(X+1)F(X)除以X^2+X+1的馀式为3X+1.求F(X)除以X^2+X+1的馀式为?
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设F(X)为一多项式.若(X+1)F(X)除以X^2+X+1的馀式为3X+1.求F(X)除以X^2+X+1的馀式为?
▼优质解答
答案和解析
设F(X) = (X^2 + X + 1) * Q(X) + R(X)
则(X+1) * F(X) = [(X^2 + X + 1)Q(X) + R(X)] (X + 1) = (X^2 + X + 1) * G(X) + 3X + 1
所以
(X^2 + X +1) | [3X+1-R(X)(X+1)]
设R(X) = AX + B
则(X^2 + X +1) | [A * X^2 + (A+B-3) * X + B-1]
所以A = A+B-3 = B-1,解得B = 3,A = 2
所以余式为2X+3
则(X+1) * F(X) = [(X^2 + X + 1)Q(X) + R(X)] (X + 1) = (X^2 + X + 1) * G(X) + 3X + 1
所以
(X^2 + X +1) | [3X+1-R(X)(X+1)]
设R(X) = AX + B
则(X^2 + X +1) | [A * X^2 + (A+B-3) * X + B-1]
所以A = A+B-3 = B-1,解得B = 3,A = 2
所以余式为2X+3
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