已知(x23+3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．

Question

已知(x(2)/(3)+3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

令x=1，得展开式中各项系数和为（1+3）ⁿ=2²ⁿ．
又展开式中二项式系数和为2ⁿ，
∴(22n)/(2n)=32，解得n=5；…（2分）
（1）∵n=5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3=

C

3 5

(x(2)/(3))3(3x2)2=90x6，
T4=

C

3 5

(x(2)/(3))2(3x2)3=270x(22)/(3)；…（6分）
（2）设展开式中第k+1项的系数最大，
则由Tk+1=

C

k 5

(x(2)/(3))5-k(3x2)k=3k

C

k 5

x(10+4k)/(3)，
得

3k

C

k 5

≥3k-1

C

k-1 5

3k

C

k 5

≥3k+1

C

k+1 5

，
解得(7)/(2)≤k≤(9)/(2)，∴k=4，即展开式中系数最大的项为
T5=

C

4 5

(x(2)/(3))(3x2)4=405x(26)/(3)．      …（10分）