问一道大学概率题,设Bernoulli（伯努利）试验中成功（A）出现的概率为p,令X表示n重Bernoulli试验中成功（A）的次数,Y表示失败的次数,则X与Y的相关系数为.

Question

【问】一道大学概率题,
设Bernoulli（伯努利）试验中成功（A）出现的概率为p,令X表示n重Bernoulli试验中成功（A）的次数,Y表示失败的次数,则X与Y的相关系数为______.

Answer 1

X服从B(n,p),Y服从B(n,q),其中,q=1-p
E(X)=np,D(X)=npq
E(Y)=nq,D(Y)=npq
下面的关键是求E(XY),注意到,其实X+Y=n
因此E(XY)=E(X(n-X))=E(nX-X^2)=nE(X)-E(X^2)
=nE(X)-(E(X))^2-D(X) 此处用到 D(X)=E(X^2)-(E(X))^2
=n^2p-n^2p^2-npq=np(n-np-q)
=np(n-np-1+p)=n(n-1)pq
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
=n(n-1)pq-n^2pq
=-npq
二者的相关系数
ρ=Cov(X,Y)/√[D(X)D(Y)]=-npq/√npq*npq]=-1