已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（1）证明：{an}是等比数列；（2）在正数数列{cn}中，设（cn）n+1=(n+1)2n+1an+1（n∈N*），求数列{lncn}中的最大项

Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（1）证明：{a_n}是等比数列；
（2）在正数数列{c_n}中，设（c_n）ⁿ⁺¹=((n+1))/(2n+1)a_n+1（n∈N^*），求数列{lnc_n} 中的最大项．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-2．  ①
∴S_n+1=2a_n+1-2．  ②
②-①，得a_n+1=2a_n+1-2a_n．
∵a_n＞0
∴(an+1)/(an)＝2
故数列{a_n} 是等比数列
∴s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴an＝2n
（2）（c_n）ⁿ⁺¹=((n+1))/(2n+1)a_n+1=(n+1)/(2n+1)•2ⁿ⁺¹=n+1
∴cn＝

n+1

n+1

，lnc_n=(ln(n+1))/(n+1)．
则c₁c₃＞c₄＞⋅⋅⋅猜想当n≥2时，{c_n}是递减函数，
令f（x）=(lnx)/(x)，则f'（x）=(1−lnx)/(x2)，
当x≥3时，lnx＞1，此时f'（x）＜0，
∴当x≥3时，函数f（x）单调递减．
即当n≥2时，{lnc_n}是递减数列，
又c₁＜c₂，
∴数列{lnc_n} 中的最大项为c2＝

3

3

．