已知等差数列｛an｝的公差d不等于0,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列（1）求数列｛an｝的通项公式（2）...已知等差数列｛an｝的公差d不等于0,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列（1）求数列｛an｝的通项公式（2

Question

已知等差数列｛an｝的公差d不等于0,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列 （1）求数列｛an｝的通项公式 （2）...
已知等差数列｛an｝的公差d不等于0,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）设bn=2的an平方,证明数列｛bn｝为等比数列,并求｛bn｝的前几项和Sn

Answer 1

a1,a2,a4成等比数列
a2²=a1×a4
(2+d)²=2×(2+3d)
4+4d+d²=4+6d
d²-2d=0
d(d-2)=0
因为d≠0
所以d=2
｛an｝的通项公式 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
bn=2的an次方=2^(2n)=4^n
b(n-1)=4^(n-1)
b(n+1)=4^(n+1)
(bn)²=(4^n)²=16^n
b(n-1)*b(n+1)=4^(n-1)*4^(n+1)=4^(n-1+n+1)=4^2n=16^n
(bn)²=b(n-1)*b(n+1)
所以bn为等比数列
b1=4
比值为q=bn/b(n-1)=4^(n)/4^(n-1)=4
｛bn｝的前n项和Sn=b1(1-q^n)(1-q)=4(1-4^n)(1-4)=4/3*(4^n-1)