已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+52，a11成等比数列．（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₃，a₄+(5)/(2)，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=(1)/(anan+1)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d>0，
∵a₃，a4+(5)/(2)，a₁₁成等比数列，
∴（a4+(5)/(2)）²=a₃a₁₁，
∴((7)/(2)+3d)2=(1+2d)(1+10d)，即44d²-36d-45=0，
解得d=(3)/(2)或d=-(15)/(22)（舍去），
所以an=(3n-1)/(2)；
（Ⅱ）因为b_n=(1)/(anan+1)=(4)/((3n-1)(3n+2))=(4)/(3)((1)/(3n-1)-(1)/(3n+2))，
所以数列{b_n}的前n项和T_n=(4)/(3)((1)/(2)-(1)/(5)+(1)/(5)-(1)/(8)+…+(1)/(3n-1)-(1)/(3n+2))=(2n)/(3n+2)．