已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n+k．（1）求k的值及数列{an}的通项公式an；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+k．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{(n)/(an)}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2+k，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+k）-（2^n-1+k）=2^n-1，（3分）
又{a_n}为等比数列，∴a₁=2+k适合上式，
∴2+k=1，得k=-1，
此时a_n=2^n-1．（n∈N^*）．（5分）
（2）∵(n)/(an)=(n)/(2n-1)，
∴数列{(n)/(an)}的前n项和：
T_n=1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n-1)/(2n-2)+(n)/(2n-1)，①
(1)/(2)T_n=(1)/(2)+(2)/(22)+…+(n-1)/(2n-1)+(n)/(2n)，②（ 8分）
①-②得：
(1)/(2)T_n=1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n-1)-(n)/(2n)=(1-(1)/(2n))/(1-(1)/(2))-(n)/(2n)=2-(n+2)/(2n)，
∴T_n=4-(n+2)/(2n-1)．（12分）