已知数列{bn}的通项公式为bn=1/4×(2/3)^n-1求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等

Question

已知数列{bn}的通项公式为bn=1/4×(2/3)^n-1求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等

Answer 1

证：
用反证法.假设数列{bn}中存在三项bk,bm,bp (k≠m≠p)成等差数列,则
2bm=bk+bp
bn=(1/4)×(2/3)^(n-1),随n增大,(2/3)^(n-1)减小,bn减小,数列为递减数列,要三项成等差数列,则m在k与p之间,不妨令k2×(1/4)×(2/3)^(m-1) =(1/4)×(2/3)^(k-1) +(1/4)×(2/3)^(p-1)
整理,得
2×(2/3)^m=(2/3)^k +(2/3)^p
等式两边同乘以3^p/2^k
2×2^(m-k)×3^(p-m)=3^(p-k)+2^(p-k)
等式左边包含因子2,因此等式左边为偶数,右边3^(p-k)恒为奇数,2^(p-k)为偶数,3^(p-k)+2^(p-k)为奇数,偶数≠奇数,等式不成立,即找不到满足题意的k、m、p,假设错误.
数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.