如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求异面直线A1B与AD1所成的角；（2）求证：A1D⊥平面ABD1．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

（1）求异面直线A₁B与AD₁所成的角；
（2）求证：A₁D⊥平面ABD₁．

Answer 1

（1）∵AD₁∥BC₁，∴∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁BC₁=60°，
∴异面直线A₁B与AD₁所成的角为60°．
证明：（2）∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊂平面ADD₁A₁，
∴AB⊥A₁D，
∵AB∩A₁D=A，∴A₁D⊥平面ABD₁．