如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

Question

如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．

（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

Answer 1

    （1）证明：如图所示：连接OF、OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°， ∵E为BC边中点，AO=DO， ∴AO=AD，EC=BC， ∴AO=EC，AO∥EC， ∴四边形OAEC是平行四边形， ∴AE∥OC， ∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA， ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA， ∴∠DOC=∠FOC， ∵在△ODC和△OFC中 ， ∴△ODC≌△OFC（SAS）， ∴∠OFC=∠ODC=90°， ∴OF⊥CF， ∴CF与⊙O相切； （2）如图所示：连接DE， ∵AO=DO，AF=EF，AD=2， ∴DE=20F=2， ∵E是BC的中点， ∴EC=1， 在Rt△DCE中，由勾股定理得： DC===， ∴AB=CD=．