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如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,连接AE,以AD为直径的⊙O交AE于点F,连接CF.(1)求证:CF与⊙O相切;(2)若AD=2,F为AE的中点,求AB的长.
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如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,连接AE,以AD为直径的⊙O交AE于点F,连接CF.
(1)求证:CF与⊙O相切;
(2)若AD=2,F为AE的中点,求AB的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图所示:连接OF、OC, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°, ∵E为BC边中点,AO=DO, ∴AO=AD,EC=BC, ∴AO=EC,AO∥EC, ∴四边形OAEC是平行四边形, ∴AE∥OC, ∴∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA, ∵OA=OF, ∴∠OAF=∠OFA, ∴∠DOC=∠FOC, ∵在△ODC和△OFC中 , ∴△ODC≌△OFC(SAS), ∴∠OFC=∠ODC=90°, ∴OF⊥CF, ∴CF与⊙O相切; (2)如图所示:连接DE, ∵AO=DO,AF=EF,AD=2, ∴DE=20F=2, ∵E是BC的中点, ∴EC=1, 在Rt△DCE中,由勾股定理得: DC===, ∴AB=CD=.
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