泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续我市的建筑风格，在旧城改造中，

Question

泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续我市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个四棱柱和一个三棱柱的组合体，其直观图和三视图如图（单位：m）所示．

（Ⅰ）装在E、F处的路灯，夜间恰好能照到建筑物前的一条笔直的人行小道，试证明人行小道所在的直线与直线AB平行；
（Ⅱ）记建筑物内墙角所在直线与屋顶斜面ABFE所成的角为α，当x=√(11)时，求sinα的值；
（Ⅲ）已知四棱柱部分的外部装修费平均300元/平方米，三棱柱部分的外部装修费平均400元/平方米，而且为视角美观，要求屋顶斜面四边形ABFE中，0.6≤(AE)/(AB)≤0.64，试估算该闽南式大屋外部装修的最少费用．（精确到万元，参考数据：√(11)≈3.31，√(399)≈19.99，√(41)≈6.40．）

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题意，人行小道所在直线在面ABEF内，
∵AB∥A′B′，A′B′在地面上，AB∥在地面，
∵AB⊂面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，
∴人行小道所在直线与直线AB平行．
（Ⅱ）据三视图知，AB=10，A′A＝20−√(11)，
以D′为原点，D′A′、D′C′、D′D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(10，0，20−√(11))，B（10，10，20-√(11)），E（5，0，20），
∴

AB

＝(0，10，0)，

AE

＝(−5，0，√(11))，
设

n

＝(x0，y0，z0)为平面ABFE的法向量，
则

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

（Ⅰ）由已知条件得AB⊂面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，由此能证明人行小道所在直线与直线AB平行．
（Ⅱ）以D′为原点，D′A′、D′C′、D′D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinα的值．
（Ⅲ）四棱柱部分的外部装修费用w₁=[4×10×（20-x）]×300，三棱柱部分的外部装修费用w₂=2×10×√(x2+25)×400+2×(10×x)/(2)×400，由此能求出该闽南式大屋外部装修的最少需要26万费用．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；基本不等式．

考点点评：

本题考查人行小道所在的直线与直线AB平行，考查线面角正弦值的求法，考查闽南式大屋外部装修的最少费用的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议