已知点A（m,4）（m＞0）在抛物线x^2=4y上,过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2,且l1l2与抛物线的另一个交点分别为点B和点C（1）求证直线BC的斜率为定值（这个我求出来-2）.（2）若抛物线上存

Question

已知点A（m,4）（m＞0）在抛物线x^2=4y上,过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2,且l1l2与抛物线的另一个交点分别为点B和点C（1）求证直线BC的斜率为定值（这个我求出来-2）.（2）若抛物线上存在两点关于直线BC对称,求|BC|的取值范围（这个不会(T_T)）

Answer 1

（1）点A（m,4）（m＞0）在抛物线x^2=4y①上,
∴m^2=16,m=4,
过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2,
设l1:y=kx-4k+4,②
代入①,x^2-4kx+16k-16=0,
xA=4,xB=4k-4,代入②,yB=4k^2-8k+4.
同理,xC=-4k-4,yC=4k^2+8k+4,
∴BC的斜率=16/（-8）=-2,
（2）BC:y-(4k^2-8k+4)=-2(x-4k+4),即y=-2x+4k^2-4,
抛物线上存在两点关于直线BC对称,
与BC垂直的直线y=x/2+m③被抛物线截得的弦的中点P在BC上,
把③代入①,x^2+8x-16k^2+16=0,
△/64=k^2>0,|k|>0,
x1+x2=-8,xP=-4,代入③,yP=m-2,
∴m-2=8+4k^2-4,m=4k^2+6,
点P在抛物线的内部（含焦点的区域),
∴xP^20,|k|>0,
∴|BC|=8√5|k|>0,为所求.