如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）．

（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．

Answer 1

（1） ∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，-4），点B（-2，0），点C（4，0）．
∴

c=-4

4a-2b+c=0

16a+4b+c=0

，
解得

a=(1)/(2)

b=-1

c=-4

，
∴这个抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x2-x-4，顶点为(1，-(9)/(2))．
（2）如图：取OA的中点，记为点N，

∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON=2，
又∵OB=2，
∴OB=ON，
又∵∠BON=90°，
∴∠ONB=45°，
∴∠ACB=∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠NBA+∠OAB=∠ONB，
∴∠OMB=∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M₁，
∵∠BAN=∠M₁AB，∠NBA=∠OM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B
∴(AN)/(AB)=(AB)/(AM1)，
又∵AN=2，AB=2√(5)，
∴AM₁=10，
 又∵A（0，-4）
∴M₁（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M₂，
点M₁与点M₂关于x轴对称，
∴M₂（0，-6），
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，-6）．