如图，A（0，6），B（-6，0），点C、D同时从点O、A出发以每秒1个单位的速度分别沿着x轴正半轴和射线AO方向运动，同时点E从点B出发，以每秒2个单位沿着射线BO运动，过点C的直线l⊥x轴，点F

Question

如图，A（0，6），B（-6，0），点C、D同时从点O、A出发以每秒1个单位的速度分别沿着x轴正半轴和射线AO方向运动，同时点E从点B出发，以每秒2个单位沿着射线BO运动，过点C的直线l⊥x轴，点F是直线l在x轴上方的一点，且EF=ED，以DE和EF为邻边作菱形DEFG；当点C和点E重合时各点同时停止运动；直线m：y=2x+2交x轴于点M，交y轴于点N；设运动时间为t．

（1）如图1直接写出点M和点N的坐标并用t的代数式表示CE和OD的长度．
M___，N___，CE=___，OD=___．
（2）如图2，当点E在线段OC之间时，证明：菱形DEFG为正方形．
（3）在整个运动过程中，
①当t的值为多少时，四边形DEFG有一个顶点落在直线m上；
②记点D关于直线m的对称点为点D′，当点D′恰好落在直线l上时，直接写出t的值是___．

Answer 1

（1）∵y=2x+2交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（-1，0），N（0，2），
由题意，OE=t，AD=t，BE=2t，
∴EC=OB+OC-BE=6+t-2t=6-t，OD=OA-AD=6-t，
故答案为（-1，0），（0，2），6-t，6-t，

（2）证明：点E在线段OC之间

∵CE=6-t=OD，EF=ED，∠DOE=∠ECF=90°．
∴△DOE≌△ECF
∴∠DEO=∠EFC
∴∠DEO+∠CEF=∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠DEF=90°
∴菱形DEFG是正方形．

（3）①当点D落在直线m上；即点D与点N重合，
可得6-t=2
∴t=4．
当点E落在直线m上；即点E与点M重合，
可得2t=5
∴t=2.5．

当点F落在直线m上；如图3，

由△DOE≌△FCE
可得CF=OE=6-2t
把F （ t，6-2t ）代入y=2x+2
6-2t=2t+2
∴t=1．
当点G落在直线m上；如图4，

过G作GH⊥x轴于点H
容易证明△DOE≌△GHD；
∴GH=OD=6-t，HD=OE=2t-6
∴OH=HD+OD=t
把G （6-t，t ）代入y=2x+2
t=2（6-t）+2∴t=(14)/(3)．
∴当t取4，2.5，1，(14)/(3)时，四边形DEFG有一个顶点落在直线m上

②如图5中，设DD′交直线m于F，作FG⊥OA于G．

由题意，D关于直线m的对称点为点D′，当点D′恰好落在直线l上，
∴FG=(t)/(2)，AD=t，
由△DFG∽△FNG∽△MNO，
∴(DG)/(FG)=(FG)/(GN)=(OM)/(ON)=(1)/(2)，
∴DG=(1)/(4)t，GN=t，
∵GN=AN-AD-DG，
∴t=4-t-(1)/(4)t，
∴t=(16)/(9)．
∴t=(16)/(9)时，D关于直线m的对称点为点D′，当点D′恰好落在直线l上．