（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的

Question

（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵对称轴是x=3，
∴-(b)/(2a)=3，即6a+b=0，
两关于a、b的方程联立解得 a=-(1)/(4)，b=(3)/(2)，
∴抛物线为y=-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4．

（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右平移3个单位与N重合．
设M（x，-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4），则N（x+2，-(1)/(4)x²+(3)/(2)x），
∵N在x轴上，
∴-(1)/(4)x²+(3)/(2)x=0，
解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）．
②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．
设M（x，-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4），则N（x-2，-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+8），
∵N在x轴上，
∴-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+8=0，
解得 x=3-√(41)，或x=3+√(41)，
∴x_M=3-√(41)，或3+

作业帮用户 2017-10-17

问题解析

（1）解析式已存在，y=ax²+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-

√(41)(b)/(2a)，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．
（2）四边形BCMN为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．
（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义，平移及二元一次方程求解等知识，本题难度适中，但想做全答案并不容易，是道非常值得学生练习的题目．

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