如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，CD是对称轴．（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O

Question

如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，CD是对称轴．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动．过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N．
①设点P运动的时间为t，点P在运动过程中，若以MN为直径的圆与y轴相切，试求出此时t的值；
②是否存在这样的t值，使得CN=DM？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）A、B两点的坐标分别为（0、5）、（5、0），
抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；

（2）①由题意知：P（5-t，0）．
∴N（-（5-t）²+4（5-t）+5，y）
∴MN=y_N-y_M=-（5-t）²+4（5-t）+5-（-5+t+5）=-t²+5t
∵以MN为直径的圆与y轴相切
∴-t²+5t=2（5-t），
即t²-7t+10=0，
解得t=2，t=5（不合题意舍去）
∴t的值为2；
②当CN∥DM时，CN=DM，
∵CN∥DM，直线AB的解析式为：y=-x+5
设直线CN的解析式为y=-x+h，易知：C（2，9）．
∴直线CN的解析式为y=-x+11．
联立抛物线的解析式有：
-x+11=-x²+4x+5，
解得x=2，x=3．
因此N点的横坐标为3，此时t=5-3=2．
根据抛物线的对称性可知：N点关于抛物线对称轴的对称点N′也应该符合条件，
因此N′的横坐标为1，此时t=5-1=4
∴t的值为2或4．