大哥们求教一道证明题已知a+b+c=1且abc均大于0求证(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)大于等于1000/27

Question

大哥们 求教一道证明题
已知a+b+c=1且a b c均大于0 求证 (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)大于等于1000/27

Answer 1

a+1/a=a+1/(9a)+1/(9a)+...+1/(9a)(9个1/9a相加)>=10*((1/9)^9/a^8)^(1/10)
这里利用均值不等式.
同理b+1/b>=10*((1/9)^9/b^8)^(1/10),c+1/c>=10*((1/9)^9/c^8)^(1/10)
以上三式相乘,注意由1=a+b+c>=3(abc)^(1/3)得到的1/(abc)>=3^3.则有
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=1000*((1/9)^27/(abc)^8)^(1/10)>=
1000*((1/9)^27*3^24)^(1/10)>=1000*((1/3)^30)^(1/10)>=1000/27