如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C

Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠EBC= (1)/(2) ∠ABC，∠ECB= (1)/(2) ∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB= (1)/(2) （∠ABC+∠ACB）= (1)/(2) ×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正确；
如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴AD为∠BAC的平分线，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，

∠BFD=∠CGD=90°

DF=DG

∠BDF=∠CDG

，
∴△BDF≌△CDG（ASA），
∴DB=CD，
∴∠DBC= (1)/(2) （180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE= (1)/(2) ∠BAC=30°，
根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，故②正确；
∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，
∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选D．