设f（x，y）=xy2x2+y2，若x2+y2≠00，若x2+y2＝0.，讨论以下性质：（1）f（x，y）的连续性；（2）fx（x，y），fy（x，y）的存在性和连续性；（3）f（x，y）的可微性．

Question

设f（x，y）=

(xy2)/(x2+y2)，若x2+y2≠0

0，若x2+y2＝0.

，讨论以下性质：
（1）f（x，y）的连续性；
（2）f_x（x，y），f_y（x，y）的存在性和连续性；
（3）f（x，y）的可微性．

Answer 1

（1）当x²+y²≠0时，f（x，y）在点（x，y）处是连续的；
当x²+y²=0时，即（x，y）=（0，0），
由于：|f(x，y)−f(0，0)|＝|(xy2)/(x2+y2)|≤|y|，所以f（x，y）在点（0，0）处也是连续的．
（2）通过偏导数的定义具体计算知道：
fx(x，y)＝

(y2(y2−x2))/((x2+y2)2)，若x2+y2≠0

0，若x2+y2＝0.

fy(x，y)＝

(2x3y)/((x2+y2)2)，若x2+y2≠0

0，若x2+y2＝0.

两个偏导数在（x，y）≠（0，0）都是连续的，在（x，y）=（0，0）处不连续．
（3）当x²+y²≠0时，f（x，y）在点（x，y）处是可微的；
由于当（x，y）→（0，0）时，(f(x，y)−f(0，0)−fx(0，0)x−fy(0，0))/(<作业帮用户2016-11-30举报问题解析（1）利用函数连续的定义，求出在0点连续即可；（2）通过求偏导，得出存在性，并讨论在0点的连续型即可；（3）通过求（x，y）→（0，0）的极限，可以得出可微性．名师点评本题考点：函数连续的定义；函数连续的充要条件；微分的定义．考点点评：本题主要考查函数连续的定义、充要条件以及微分的定义，属于基础题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)