不等式.延伸的那题可以不用解答.若不等式1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)≥5/4的解集是互不相交的区间的并集,求这个不等式解集中所有区间的长度之和.延伸：证明:满足不等式1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+……+70/(x

Question

不等式.延伸的那题可以不用解答.
若不等式1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)≥5/4的解集是互不相交的区间的并集,求这个不等式解集中所有区间的长度之和.
延伸：证明:满足不等式
1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+……+70/(x-70)≥5/4
的实数x的**是互不相交的区间的并集,并且这些区间的长度的总和等于1988.

Answer 1

这个题要先考虑函数f(x) = 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)的图像.
函数的定义域为4个区间的并:(-∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,+∞).
在每个区间上都是严格单调减函数.
f(x)在(-∞,1)上的值域为(-∞,0);
在(1,2)上的值域为全体实数;
在(2,3)上的值域也为全体实数;
在(3,+∞)上的值域为(0,+∞).
于是f(x) = 5/4有3个实根x1,x2,x3,分别落在区间(1,2),(2,3)和(3,+∞)中.
f(x) ≥ 5/4的解集为(1,x1)∪(2,x2)∪(3,x3).
区间总长度x1+x2+x3-(1+2+3).
f(x) = 5/4的3个根就是(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2) = 5/4·(x-1)(x-2)(x-3)的3个根.
也即(x-1)(x-2)(x-3)-4/5·((x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2)) = 0的3个根.
左边多项式最高次项系数为1,第2项系数为-(1+2+3)-4/5·(1+2+3).
由根与系数关系知x1+x2+x3 = (1+2+3)+4/5·(1+2+3).
于是区间总长度x1+x2+x3-(1+2+3) = 4/5·(1+2+3) = 24/5.
延伸题完全类似上面方法,只是区间变成70段,方程变成70次.
得区间总长度4/5·(1+2+...+70) = 4/5·(1+70)·70/2 = 1988.