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已知一切x,y∈R,不等式x2+81x2-2xy+18x2-y2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是.

题目详情
已知一切x,y∈R,不等式x2+
81
x2
-2xy+
18
x
2-y2
-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是___.
▼优质解答
答案和解析
x2+
81
x2
-2xy+
18
x
2-y2
=(x-y)2+(
9
x
+
2-y2
2-2,
令z=(x-y)2+(
9
x
+
2-y2
2
则z表示A(x,-
9
x
)点与B(y,
2-y2
)两点的距离d的平方,
由A为双曲线y=-
9
x
上一点,B为半圆x2+y2=2(y≥0)上一点,
在同一坐标系中画出两曲线的图象,如下图所示:
作业帮
可以看出两点间距离的最小值为2
2

即距离的平方为8,
故z≥8,
∴x2+
81
x2
-2xy+
18
x
2-y2
=(x-y)2+(
9
x
+
2-y2
2-2≥6,
∴a≤6,所以实数a的取值范围是(-∞,6],
故答案为:(-∞,6]