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已知一切x,y∈R,不等式x2+81x2-2xy+18x2-y2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是.
题目详情
已知一切x,y∈R,不等式x2+
-2xy+
-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是___.
81 |
x2 |
18 |
x |
| 2-y2 |
▼优质解答
答案和解析
x2+
-2xy+
=(x-y)2+(
+
)2-2,
令z=(x-y)2+(
+
)2,
则z表示A(x,-
)点与B(y,
)两点的距离d的平方,
由A为双曲线y=-
上一点,B为半圆x2+y2=2(y≥0)上一点,
在同一坐标系中画出两曲线的图象,如下图所示:
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_a5829b5d8b3d35f14d220c323ae7da8e.jpg)
可以看出两点间距离的最小值为2
,
即距离的平方为8,
故z≥8,
∴x2+
-2xy+
=(x-y)2+(
+
)2-2≥6,
∴a≤6,所以实数a的取值范围是(-∞,6],
故答案为:(-∞,6]
81 |
x2 |
18 |
x |
2-y2 |
9 |
x |
2-y2 |
令z=(x-y)2+(
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x |
2-y2 |
则z表示A(x,-
9 |
x |
2-y2 |
由A为双曲线y=-
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x |
在同一坐标系中画出两曲线的图象,如下图所示:
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_a5829b5d8b3d35f14d220c323ae7da8e.jpg)
可以看出两点间距离的最小值为2
2 |
即距离的平方为8,
故z≥8,
∴x2+
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x2 |
18 |
x |
2-y2 |
9 |
x |
2-y2 |
∴a≤6,所以实数a的取值范围是(-∞,6],
故答案为:(-∞,6]
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