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如图,已知过A(2,4)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点.(1)经过多少时间,

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如图,已知过A(2,4)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点.

(1)经过多少时间,线段PQ的长度为2?
(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围;
(3)是否存在时间t,使P、Q、M构成的三角形与△MON相似?若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
∵A(2,4),
∴OM=2,AM=4,
∵点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点,
∴点P的速度度2,点Q速度的4,
(1)设经过t分钟线段PQ的长度是2,则PM=2-2t,QM=4t,
在Rt△PQM中,
∵PQ2=PM2+QM2,即22=(2-2t)2+(4t)2,解得t=0(分)或t=0.4(分).
答:当t=0或t=0.4时,线段PQ的长度为2;
(2)由(1)可知,PM=2-2t,QM=4t,
在Rt△PQM中,PQ2=PM2+QM2,即y=(2-2t)2+(4t)2
整理得,y=20t2-8t+4(0≤t≤1);
(3)存在.
∵A(2,4),
∴N(0,4),M(2,0),
∴ON=4,OM=2,
当△MON∽△PMQ时,
OM
MP
=
ON
MQ
,即
2
2−2t
=
4
4t
,解得t=0.5;
当△MON∽△QMP时,
OM
MQ
=
ON
MP
,即
2
4t
=
4
2−2t
,解得t=0.2.
故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似.
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