正三棱锥顶点在底面的射影与顶点的连线垂直于其底面吗麻烦详解下概念,主要是这道题已知正三棱锥的底面边长为2,高为1,则该三棱锥的侧面积为我过顶点作底面的垂线连接至底面的一个

Question

正三棱锥顶点在底面的射影 与顶点的连线垂直于其底面吗
麻烦详解下概念,主要是这道题已知正三棱锥的底面边长为2,高为1,则该三棱锥的侧面积为____
我过顶点作底面的垂线连接至底面的一个顶点 认为其与底面垂直 可算出来的答案确实错的 请帮我解释下这么理解错误的原因,谢谢!

Answer 1

当然垂直,所谓正三棱锥顶点在底面的射影就是从顶点向底面作垂线,其垂足就是顶点在底面的射影,故与顶点的连线垂直于其底面.
设正三棱锥P-ABC,AB=BC=AC=2,OP⊥平面ABC,则O是正△ABC的外心（重心、内心、垂心）,连结AO并延长交BC于M,则AM⊥BC,（∵O是正△中垂线、高、中线、角平分线的交点,）
∴M是BC的中点,
∵PC=PB,
∴PM⊥BC,
AM=（√3/2）BC=√3,
OM=AM/3=√3/3,
根据勾股定理,PM=√（PO^2+OM^2)=√（1+1/3）=2√3/3,
∴S侧=（PM*BC/2）*3=[（2√3/3）*2/2]*3=2√3.
“过顶点作底面的垂线连接至底面的一个顶点”能否再具体说明一下?