在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,D是BC边上的中点,过D作BC的垂线,交∠BAC的平分线于点E.求证∶DE＝1/2BC

Question

在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,D是BC边上的中点,过D作BC的垂线,交∠BAC的平分线于点E.求证∶DE＝1/2BC

Answer 1

连结AD.
AD=(1/2)BC（直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半）,因此只需证明AD=DE,
即证明 ∠DAE =∠DEA（等腰三角形判定定理,等角对等边）.
过点A做BC垂线,交BC于点F（这样做是为了转移位置尴尬的∠DEA）.
于是DE//AF,内错角∠FAE =∠DEA.
问题转化为证明∠DAE = ∠FAE,条件给出AE是∠BAC的角平分线,也就是证明∠BAD = ∠CAF.
注意等腰三角形DAB的底角∠BAD = ∠ABD, 而∠ABD和∠CAF有相同的余角
所以∠BAD = ∠CAF.
证毕
结论：
此题综合考查平行线,等腰三角形的判定和性质,直角三角形的性质.需熟练掌握这些基本的定理.