已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF=

Question

已知双曲线C： (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2

MF

=

FN

，则双曲线的离心率___．

Answer 1

双曲线的渐近线方程为y=±(b)/(a)x，设M在直线y=(b)/(a)x上，M（x₀，(b)/(a)x0），
F（c，0），∵2

MF

=

FN

，∴M是FN的中点，
∴N（2x₀-c，(2b)/(a)x0），∵N在直线y=-(b)/(a)x上，∴2x₀-c=-2x₀，即x₀=(c)/(4)．
∴M（(c)/(4)，(bc)/(4a)），
∵MF与直线y=(b)/(a)x垂直，∴((bc)/(4a))/(-(3c)/(4))=-(a)/(b)，∴b²=3a²，
∴e=(c)/(a)=(√(a2+3a2))/(a)=2．
故答案为：2．