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等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,过点C向BD做垂线,并与BD延长线交于点E,求证:BD=2CE.
题目详情
等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,过点C向BD做垂线,并与BD延长线交于点E,求证:BD=2CE.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长CE,交BA延长线于点F.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
又∵BE⊥EC,
∴∠BEC=∠BEF=90°,
在△BEF和△BEC中,
,
∴△BEF≌△BEC,
∴EF=EC,
即CF=2EC,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAF=90°
Rt△ABD中,∠ABD+∠ADB=90°,
Rt△AEF中,∠ABD+∠F=90°,
∴∠ADB=∠F,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF,
∵CF=2EC,
∴BD=2CE.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
又∵BE⊥EC,
∴∠BEC=∠BEF=90°,
在△BEF和△BEC中,
|
∴△BEF≌△BEC,
∴EF=EC,
即CF=2EC,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAF=90°
Rt△ABD中,∠ABD+∠ADB=90°,
Rt△AEF中,∠ABD+∠F=90°,
∴∠ADB=∠F,
在△ABD和△ACF中,
|
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF,
∵CF=2EC,
∴BD=2CE.
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