等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD做垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD=2CE．

Question

等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD做垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD=2CE．

Answer 1

证明：延长CE，交BA延长线于点F．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
在△BEF和△BEC中，

∠ABD=∠DBC

BE=BE

∠BEF=∠BEC

，
∴△BEF≌△BEC，
∴EF=EC，
即CF=2EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAF=90°
Rt△ABD中，∠ABD+∠ADB=90°，
Rt△AEF中，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ADB=∠F，
在△ABD和△ACF中，

∠ADB=∠F

∠BAC=∠FAC

AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵CF=2EC，
∴BD=2CE．