如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为点F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．（1）求证：AFAE＝BFEC；（2）S△ABF=4，S△AEC=9，求AP：EC．

Question

如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为点F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．
（1）求证：(AF)/(AE)＝(BF)/(EC)；
（2）S_△ABF=4，S_△AEC=9，求AP：EC．

Answer 1

证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．

（2）由（1）有(AF)/(AE)＝(BF)/(EC)，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴(PF)/(BC)＝(BF)/(EC)，
∴(AF)/(AE)＝(PF)/(PC)，
∴AP∥EC，
∵△APF∽△CFE，
∴AP：CE=CF：PF，
∵S_△ABF=4，S_△AEC=9，
∴CE：BF=2：3，
∴AP：CE=3：2．