（1）证明积分中值定理：设f（x）在[a，b]上连续，则存在η∈[a，b]使∫baf（x）dx=f（η）（b-a）．（2）若φ（x）有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），φ（2）＞∫32φ（x）dx出，证明至少存在

Question

（1）证明积分中值定理：设f（x）在[a，b]上连续，则存在η∈[a，b]使

∫

b a

f（x）dx=f（η）（b-a）．
（2）若φ（x）有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），φ（2）＞

∫

3 2

φ（x）dx出，证明至少存在一点ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0．

Answer 1

（1）设M与m是连续函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值，即m≤f（x）≤M，x∈[a，b]．
由定积分性质，有m(b−a)≤

∫

b a

f(x)dx≤M(b−a)，即m≤(∫baf(x)dx)/(b−a)≤M．
由连续函数介值定理可知：至少存在一点η∈[a，b]，使得f(η)＝(∫baf(x)dx)/(b−a)．
即

∫

b a

f(x)dx＝f(η)(b−a)．
（2）由（1）的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使 

∫

3 2

φ(x)dx＝φ(η)•(3−2)＝φ(η)，
所以φ(2)＞

∫

3 2

φ(x)dx＝φ(η)，2＜η≤3；
注意到φ（2）＞φ（1），φ（2）＞φ（η），对φ（x）在[1，2]、[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，可得
φ′(ξ1)＝(φ(2)−φ(1))/(2−1)＞0，1＜ξ1＜2；φ′(ξ2)＝(φ(η)−φ(2))/(φ−2)＜0，2＜ξ2＜η≤3；
在[[ξ₁，ξ₂]上对导函数φ'（x）应用拉格朗日中值定理，有
φ″(ξ)＝(φ′(ξ2)−φ′(ξ1))/(ξ2−ξ1)＜0，ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（1，3）．
故得证：（1）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，至少存在一点η∈[a，b]，使得

∫

b a

f(x)dx＝f(η)(b−a)；
（2）函数φ（x）具有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），φ（2）＞

∫

3 2

φ(x)dx，至少存在一点ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0．